控制-频域操作-傅里叶级数和傅里叶变换

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 傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系？ - 马同学的回答 - 知乎

1.任何一个函数都可以表达成傅里叶级数形式

2.上面的傅里叶级数表达形式 有正弦波，也有余弦波，画频域图也不方便，通过欧拉公式，可以修改为复数形式。经过一堆操作（暂且省略）得到

f(x)的一种简洁表达式（其实还是代表好多不同频率的正弦波组成），其中F(w)代表频率为w的正弦波所占的权重

3.由上面的表达式反推得到频率为w的正弦波的权重F(w)

Laplace变换

拉普拉斯变换比傅里叶变换多了一个衰减因子，使得不满足绝对可积的信号也能转化为频域信号。两者都能描述幅值信息和相位信息。

傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？ 作者：Heinrich

傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。
但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）
而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）

从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）